Question

设函数f（x）=x3﹣x2﹣2x﹣．

（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；

（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

（1）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣]和[1，+∞），单调减区间为[﹣，1]; （2）m＞．

【解析】

试题分析：（1）首先应求导数，利用导数的为正或为负，解对应不等式可得函数的单调增（减）区间；

（2）由不等式恒成立问题可通过分离参数等价转化成f（x）max＜m,求函数f（x）的最大值即可．

试题解析：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2=0，得x=1，﹣．

在（﹣∞，﹣）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；

在（﹣，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．

所以所求f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣]和[1，+∞），单调减区间为[﹣，1]．

（2）由（1）知，当x∈[﹣1，﹣]时，f′（x）＞0，[﹣，1]时，f′（x）＜0

∴f（x）≤f（﹣）=．

∵当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜m恒成立，

∴m＞．

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式的恒成立问题．