Question

7．已知函数f（x）=（x-k）e^x．
（Ⅰ）当k=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间，对k-1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）k=1时，f（x）=（x-1）e^x，
f′（x）=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（Ⅱ）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x	（-∞，k-1）	k-1	（k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-ek-1	↑

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）；
当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；
当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-e^k-1；
当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；
综上所述f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-k，k≤1}\\{{-e}^{k-1}，1＜k＜2}\\{（1-k）e，k≥2}\end{array}\right.$．

点评 此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．