Question

已知两圆O₁，O₂内切，圆O₁的半径为1，圆O₂的半径为3，动圆M与圆0₁外切于点Q，且与圆O₂内切于点P．
（1）建立适当的直角坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程
（2）求过点（0，

3

），倾斜角为

π

4

的直线被（1）中轨迹所截得的线段长度．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设两个定圆O₁（-1，0），O₂（1，0），设动圆圆心为M（x，y），半径为R，由两个圆相内切和外切的条件，写出动圆圆心满足的关系式，由椭圆的定义确定其轨迹即可；
（2）求出直线方程代入椭圆方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）设两个定圆O₁（-1，0），O₂（1，0），建立坐标系，
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
动圆M与圆O₁外切，又与圆O₂内切，满足|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R
所以|MO₂|+|MO₁|=4（常数）＞|O₁O₂|
故M点的轨迹为以O₁，O₂为焦点的椭圆，且a=2，c=1，
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．
（2）过点（0，

3

），倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x+

3

，
代入椭圆的方程可得7x²+8

3

x=0，
所以x=0或x=-

8 3

7

，
所以直线被（1）中轨迹所截得的线段长度为

2

•

8 3

7

=

8 6

7

．

点评：本题考查定义法求轨迹方程、两圆相切的条件等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．