Question

已知

OA

=(1，0)，

OC

=（-1，

3

），

CB

=（cosα，sinα），则

OA

与

OB

的夹角的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由题知点B在以C（-1，

3

）为圆心，1为半径的圆上，所以本题应采用数形结合来解题，由图来分析其夹角的最大值点、最小值点，从而得出结论．

解答： 解：∵

OA

=(1，0)，

OB

=

OC

+

CB

=（-1，

3

）+（cosα，sinα）=（cosα-1，sinα+

3

），
令x=cosα-1，y=sinα+

3

，则有 （x+1）²+(y-

3

)2=1，
故点B在以C（-1，

3

）为圆心、半径等于1的圆上，如图：
直角三角形OCD中，sin∠COD=

OD

OC

=

1

2

，∴∠COD=

π

6

=∠COE．
故

OA

与

OB

的夹角的最小值为∠AOD=

π

2

，最大值为∠AOE=

π

2

+

π

6

+

π

6

=

5π

6

，
即

OA

与

OB

的夹角的取值范围是[

π

2

，

5π

6

]，
故答案为：[

π

2

，

5π

6

]．

点评：本题考查向量的坐标运算及向量的数量积与夹角，解题的关键是求出点B的轨迹，结合圆的性质进行求解，属于中档题．