【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的极值点;
(2)若,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)当时,无极值点;当时,极值点为;当且时,极值点为和;(2).
【解析】
(1)先求出函数的导数,讨论、、且即可求出函数的极值点;
(2)由题意可将,恒成立转化为时,恒成立,然后构造函数,分,与两种情况讨论,分别用导数的方法研究其在上的单调性和值域,即可筛选出符合题意的的取值范围.
(1),
当时,,故无极值点;
当时,函数只有一个极值点,极值点为;
当且时,函数有两个极值点,分别为和.
(2),依题意,当时,,
即当时,.
设,则.
设,则.
①当时,,,从而(当且仅当时,等号成立),
在上单调递增.
又,当时,,从而当时,,
在上单调递减,又,
从而当时,,即,
于是当时,.
②当时,令,得,.
故当时,,
在上单调递减.
又,当时,,从而当时,,
在上单调递增,又,
从而当时,,即,
于是当时,,不符合题意.
综上所述:实数的取值范围为.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍
B.设有一个回归方程,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数,其拟合指数;研究人员乙采用函数,其拟合指数;研究人员丙采用线性函数,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数与拟合指数满足关系).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本 的相关系数,
,,.
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【题目】某课题小组共10人,已知该小组外出参加交流活动次数为1,2,3的人数分别为3,3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人外出参加交流活动次数之和为4”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出2人参加交流活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆的离心率为,分别为的左、右顶点,是上异于的动点,面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线与直线的斜率乘积为定值;
(3)设直线,分别交直线于两点,以为直径作圆,当圆的面积最小时,求该圆的方程.
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【题目】某班级的全体学生平均分成个小组,且每个小组均有名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动,若抽取的名学生中至少有一名男生的概率为,则( )
A.该班级共有名学生
B.第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为
C.抽取的名学生中男女生数量相同的概率是
D.设抽取的名学生中女生数量为,则
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程;
(2)点在曲线上,且到直线的距离为,求符合条件的点的直角坐标.
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