Question

5．已知函数f（x）=e^x+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若b＞0，f（x）≥（b-1）x+c，求b²c的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0）=0，求出a的值，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为e^x-bx≥c，令g（x）=e^x-bx，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，得到b²c≤b³-b³lnb，令h（b）=b³-b³lnb，根据函数的单调性求出其最大值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），
因为f'（x）=e^x+a，由已知得f'（0）=0，∴a=-1，
当x＞0时，f'（x）=e^x-1＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（2）不等式f（x）≥（b-1）x+c转化为e^x-bx≥c，
令g（x）=e^x-bx，g'（x）=e^x-b，由g'（x）＞0得，x＞lnb，g'（x）＜0得x＜lnb，
所以函数g（x）在（-∞，lnb）上为减函数，在（lnb，+∞）上为增函数，
所以g（x）_min=g（lnb）=b-blnb，∴c≤b-blnb，∴b²c≤b³-b³lnb，
令h（b）=b³-b³lnb，则h'（b）=b²（2-3lnb），
由h'（b）＞0得$0＜b＜{e^{\frac{2}{3}}}，h'（b）＜0$得$b＞{e^{\frac{2}{3}}}$，
所以函数h（b）在$（{0，{e^{\frac{2}{3}}}}）$上为增函数，在（${e}^{\frac{2}{3}}$，+∞）上为减函数，
所以h（b）的最大值为h（${e}^{\frac{2}{3}}$）=$\frac{1}{3}$e²，此时b=${e}^{\frac{2}{3}}$，
所以b²c的最大值为$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{2}{3}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．