Question

15．如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．
（I）求证：GM∥平面CDE；
（II）求证：平面ACE⊥平面ACF．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点N，连接GN，MN，GM，则可证MN∥DE，GN∥CD，于是平面GMN∥平面CDE，从而GM∥平面CDE；
（II）连接GE，GF，则有AF=CF，从而FG⊥AC，利用菱形的性质和勾股定理可得FG⊥GE，于是FG⊥平面ACE，于是平面ACE⊥平面ACF．

解答 证明：（Ⅰ）取BC的中点N，连接GN，MN，GM．
∵四边形ABCD是菱形，∴G为AC中点，
∴GN∥CD，
又因为M，N分别为FC，BC的中点，
∴MN∥FB，又DE∥BF，
∴DE∥MN，
又MN∩GN=N，
∴平面GMN∥平面CDE，
又GM?平面GMN，
∴GM∥平面CDE．
（Ⅱ）连接GE，GF，因为四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，又BF⊥平面ABCD，
∴AF=CF，又G是AC的中点，
∴FG⊥AC．
设菱形的边长为2，∵∠ABC=120°，
∴$GB=GD=1，GA=GC=\sqrt{3}$，
又AF⊥FC，∴$FG=GA=\sqrt{3}$，
∴$BF=\sqrt{2}$，$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵BF⊥平面ABCD，DE∥BF，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DG，
∴$GE=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在直角梯形BDEF中，得$EF=\sqrt{\frac{1}{2}+4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴EF²=GF²+GE²，∴FG⊥GE，
又AC∩GE=G，
∴FG⊥平面ACE，又FG?平面ACF，
∴平面ACE⊥平面ACF．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．