Question

已知数列满足：是数列的前n项和.数列前n项的积为，且
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a,使得成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）是否存在，满足对任意自然数时，恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由条件可得数列隔项成等差数列，从而分别得到n为奇数和偶数时的通项公式，合并即得数列的通项公式.再由数列前n项的积为，由再验证时的情况，即可得到的通项公式；（Ⅱ）先求出的表达式，再假设成等差数列，由等差中项的知识，，代入发现等式恒不成立，从而得到不存在常数a 使数列成等差数列的结论；（Ⅲ）由上问可知即证明存在，满足对任意自然数时，，易知存在m=4使得当时，恒成立.接着用数学归纳法证明之.
试题解析：（Ⅰ）由题知，∴，∴
即数列隔项成等差数列，                          1分
又 
∴当n为奇数时，，
当n为偶数时，                   2分
∴对一切              3分
又，当时，且时满足上式，
∴对一切                      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列成等差数列，∴
∴     7分
若存在常数a，使得成等差数列，则在时恒成立
即
∴不存在常数a 使数列成等差数列                9分
（Ⅲ）存在使得当时，恒成立，
即当时，，下面用用数学归纳法证明：
①当时，.
②假设时，成立，即.
则当，，所以时，成立.
综合①②得，成立.所以当时，.     13分