Question

16．设函数f（x）=$\sqrt{lnx+x+a}$，若曲线y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，e²-e+1]
• B． [0，e²+e-1]
• C． [0，e²-e-1]
• D． [0，e²+e+1]

Answer 1

分析 利用函数f（x）的单调性可以证明f（y₀）=y₀．令函数f（x）=x，化为a=x²-lnx-x．令h（x）=x²-lnx-x，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=1时，y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$取得最大值y=$\frac{e-1}{2}$+$\frac{e+1}{2}$=e，
当sinx=-1时，y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$取得最小值y=-$\frac{e-1}{2}$+$\frac{e+1}{2}$=1，
即函数y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$的取值范围为[1，e]，
若y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，
则y₀∈[1，e]．且f（y₀）=y₀．
若下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．y₀∈[1，e]．
∵函数f（x）=$\sqrt{lnx+x+a}$，的定义域为（0，+∞），
∴等价为$\sqrt{lnx+x+a}$=x，在（0，e]上有解
即平方得lnx+x+a=x²，
则a=x²-lnx-x，
设h（x）=x²-lnx-x，则h′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
由h′（x）＞0得1＜x≤e，此时函数单调递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极小值，即h（1）=1-ln1-1=0，
当x=e时，h（e）=e²-lne-e=e²-e-1，
则0≤h（x）≤e²-e-1．
则0≤a≤e²-e-1．
故选：C．

点评 本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．