Question

已知函数f（x）=

3x-1

3x+1

（1）判断该函数的奇偶性；
（2）证明函数在定义域上是增函数．

Answer 1

分析：（1）用定义法，先看定义域是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系．若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数．
（2）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

3x-1

3x+1

的定义域为R
又f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（2）设x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）
=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴3x1-3x2＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，一般用定义；还考查了证明函数的单调性，一般用定义和导数，用定义时，要注意变形到位，用导数时，要注意端点．