Question

20．数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_n}，0≤{a_n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a_n}-1，\frac{1}{2}≤{a_n}＜1}\end{array}}$，若a₁=$\frac{6}{7}$，则a₂₀₁₆的值是（　　）

• A． $\frac{6}{7}$
• B． $\frac{5}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{1}{7}$

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_n}，0≤{a_n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a_n}-1，\frac{1}{2}≤{a_n}＜1}\end{array}}$，a₁=$\frac{6}{7}$，可得a_n+3=a_n．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_n}，0≤{a_n}＜\frac{1}{2}}\\{2{a_n}-1，\frac{1}{2}≤{a_n}＜1}\end{array}}$，a₁=$\frac{6}{7}$，
∴a₂=2a₁-1=$\frac{5}{7}$，a₃=2a₂-1=$\frac{3}{7}$，a₄=2a₃=$\frac{6}{7}$，…，
∴a_n+3=a_n．
则a₂₀₁₆=a_671×3+3=a₃=$\frac{3}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．