Question

8．设$θ∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，已知$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（3-sinθ，-cosθ），则|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|的取值范围是（　　）

• A． [1，5]
• B． [$\sqrt{13-6\sqrt{3}}$，$\sqrt{7}$]
• C． [1，$\sqrt{7}$]
• D． [1，$\sqrt{13-6\sqrt{3}}$]

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标表示与运算，求出$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$以及|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|，再利用三角函数的取值范围，求出|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$|的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（3-sinθ，-cosθ），
∴$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$=（3-2sinθ，-2cosθ），
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{{（3-2sinθ）}^{2}{+（-2cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{13-12sinθ}$；
又∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sinθ∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴1≤13-12sinθ≤7，
∴1≤$\sqrt{13-12sinθ}$≤$\sqrt{7}$，
即|$\overrightarrow{{{P}_{1}P}_{2}}$|的取值范围是[1，$\sqrt{7}$]．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了三角函数的应用问题，是基础题目．