Question

16．已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，且z是方程x²-4x+5=0的根．
（1）求复数z；
（2）复数w=a-$\frac{（-1+i）（2+i）}{i}$（a∈R）满足|w-z|＜2$\sqrt{5}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设复数z=m+ni，m，n∈R，代入方程由复数相等解方程组结合题意可得；
（2）化简w，由已知和模长公式可a的不等式，解不等式可得．

解答 解：（1）设复数z=m+ni，m，n∈R，
∵z是方程x²-4x+5=0的根，
∴（m+ni）²-4（m+ni）+5=0，
整理可得（m²-n²-4m+5）+（2mn-4n）i=0，
由复数相等可得m²-n²-4m+5=2mn-4=0，
解得m=2且n=1，或m=2且n=-1，
故方程的两根为2+i或2-i，
又∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴z=2-i；
（2）化简可得$w=a-\frac{（-1+i）（2+i）}{i}=（a-1）-3i$，
∵|w-z|=|（a-1-3i）-（2+i）|=|a-3-4i|=$\sqrt{（a-3）^{2}+16}$＜2$\sqrt{5}$，
∴解关于a的不等式可得1＜a＜5

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及复数相等和不等式的解法，属中档题．