Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$，满足$\overrightarrow a$•$\overrightarrow a$=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$•$\overline c$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$=1，则|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$|的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{14}$
• D． 16

Answer 1

分析 根据条件可得到$|\overrightarrow{a}|=1$，这样可设$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ），\overrightarrow{b}=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{c}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=1$进行数量积的坐标运算便可得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ=1}&{①}\\{{x}_{2}cosθ+{y}_{2}sinθ=2}&{②}\\{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=1}&{③}\end{array}\right.$（1），而①+②便可得到（x₁+x₂，y₁+y₂）•（cosθ，sinθ）=3，从而可以得到$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=\frac{9}{co{s}^{2}α}≥9$，其中α表示向量（x₁+x₂，y₁+y₂）和（cosθ，sinθ）的夹角．可求出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$的坐标，从而根据不等式组（1）便可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}+7$，这样即可得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴设$\overrightarrow{a}=（cosθ，sinθ）$，$\overrightarrow{b}=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{c}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$；
∴由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=1$得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ=1}&{①}\\{{x}_{2}cosθ+{y}_{2}sinθ=2}&{②}\\{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=1}&{③}\end{array}\right.$；
∴①+②得：（x₁+x₂）cosθ+（y₁+y₂）sinθ=3；
即（x₁+x₂，y₁+y₂）•（cosθ，sinθ）=3；
∴$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}cosα=3$，α表示向量（x₁+x₂，y₁+y₂）和（cosθ，sinθ）的夹角；
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=\frac{9}{co{s}^{2}α}≥9$，当cosα=±1时取“=”；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（cosθ+{x}_{1}+{x}_{2}，sinθ+{y}_{1}+{y}_{2}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}=（cosθ+{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$$+（sinθ+{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$
=$co{s}^{2}θ+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}cosθ$+2x₂cosθ+2x₁x₂$+si{n}^{2}θ+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+2{y}_{1}sinθ$+2y₂sinθ+2y₁y₂
=（cos²θ+sin²θ）$+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$+2[（x₁+x₂）cosθ+（y₁+y₂）sinθ]+2（x₁x₂+y₁y₂）
=$1+{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$+6+2
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）+9$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2+9$≥9-2+9=16；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|≥4$；
即$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值为4．
故选B．

点评 考查向量数量积的计算公式及其坐标运算，向量长度为1的坐标的设法，通过引入向量的坐标解决向量问题的方法，以及根据向量的坐标求向量的长度，向量夹角的概念及范围，余弦函数的值域，以及向量坐标的加法运算，要求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值，而去求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}$的最小值的方法．