Question

11．在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，给出下列四个结论：
①以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}{b}，\;\frac{1}{c}$为边长的三角形一定存在；
②以$\sqrt{a}，\;\sqrt{b}，\;\sqrt{c}$为边长的三角形一定存在；
③以a²，b²，c²为边长的三角形一定存在；
④以$\frac{a+b}{2}，\;\frac{b+c}{2}，\;\frac{c+a}{2}$为边长的三角形一定存在．
那么，正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，比如a=2，b=2，c=1时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}{b}，\;\frac{1}{c}$为边长的三角形不存在；
 ②，由+b＞c，可得a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$，可判定②．
 ③，当△ABC中为直角三角形时，不妨设c为斜边，则a²+b²=c²，∴以a²，b²，c²为边长的三角形一定不存在；
 ④，$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}＞\frac{c+a}{2}$，$\frac{a+b}{2}-\frac{b+c}{2}＜\frac{a+c}{2}$，由此可判定．

解答 解：对于①，比如a=2，b=2，c=1时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}{b}，\;\frac{1}{c}$为边长的三角形不存在，故①错；
对于②，∵a+b＞c，∴a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{c}$，可得②正确．
对于③，当△ABC中为直角三角形时，不妨设c为斜边，则a²+b²=c²，∴以a²，b²，c²为边长的三角形一定不存在，故③错；
对于④，∵$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}＞\frac{c+a}{2}$，$\frac{a+b}{2}-\frac{b+c}{2}＜\frac{a+c}{2}$，由此可判定④正确；
故选：C

点评 本题考查了三角形中三边的长度制约条件，属于中档题．