Question

2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=2C．
（Ⅰ）若△ABC为锐角三角形，求$\frac{a}{c}$的取值范围；
（Ⅱ）若b=1，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据A=2C，由正弦定理化简，将$\frac{a}{c}$的比值转化为三角函数问题，利用三角函数的有界限可得取值范围．
（Ⅱ）根据b=1，c=3，A=2C．建立方程求出a和sinC，可得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意：A=2C．
由正弦定理可得，$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}=\frac{sin2C}{sinC}=2cosC$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜B＜\frac{π}{2}\\ 0＜C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}0＜2C＜\frac{π}{2}\\ 0＜π-3C＜\frac{π}{2}\\ 0＜C＜\frac{π}{2}\end{array}\right.⇒\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{4}$，
进而可知，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜cosC＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$\frac{a}{c}$的取值范围是$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，$\frac{a}{c}=2cosC$，
∴a=2ccosC=6cosC，
由余弦定理可知，c²=a²+b²-2abcosC，即9=36cos²C+1-12cos²C，
∵A=2C，
∴C为锐角，
解得$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$sinC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$a=6cosC=2\sqrt{3}$
从而△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{2}$．
（由sinB=sin3C=3sinC-4sin³C结合正弦定理求得$sinC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$亦可）

点评 本题考查解三角形的基础知识与基本运算，难度不大．