Question

如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面⊥平面.

(Ⅰ)求证：为棱的中点；（Ⅱ）为何值时，二面角的平面角为.

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)＝

试题分析：(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA₁，又点F是AC的中点，则DB = BB₁，即为的中点；或者先证,再证得. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系，然后求出两平面DA₁C和ADA₁ 的法向量分别为和，由二面角的平面角为可知，得
据题意有：，从而 ＝.或者利用几何法可求.
试题解析：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A₁ C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF
∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C内的直线DE ⊥ A₁ C
故直线面                     3分
又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C
由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA₁＝  BB₁，即为的中点.             6分
(Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，

设AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，则D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0) 
所以，
设面DA₁C的法向量为
则   可取                    8分
又可取平面AA₁DB的法向量:

据题意有： 解得： ＝               12分
(Ⅱ)解法2：延长A₁ D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，
过B作BH⊥A₁ G于点H，连CH，由三垂线定理知：A₁ G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A₁D － C的平面角；                       9分
设AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知AB ＝ BG.
在DBG中，BH ＝  ＝ ， CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，据题意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：所以 ＝               12分