Question

已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量满足=[f（x）+2f′（1）]-ln（x+1）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若x＞0，证明：f（x）＞；
（Ⅲ）若不等式x²≤f（x²）+m²-2m-3对x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=[f（x）+2f'（1）]-ln（x+1），且A、B、C在直线l上，
∴f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，（2分）
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），f'（x）=，于是f'（1）=，
∴f（x）=ln（x+1）（4分）

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-，由g'（x）=-=，
以及x＞0，知g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，又g（x）在x=0处右连续，
∴当x＞0时，得g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞（8分）

（Ⅲ）原不等式等价于，
令h（x）==，则h'（x）==，（10分）
∵x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，x∈（0，1）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（-1，0）为增函数，在（0，1）上为减函数，（11分）
∴当x∈[-1，1]时，h（x）_max=h（0）=0，从而依题意有0≤m²-2m-3，
解得m≥3或m≤-1，故m的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（12分）
分析：（Ⅰ）先利用从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系得到f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，再求出y=f（x）的表达式，进而求出f'（1），找到f（x）=ln（x+1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-，利用导函数找出g（x）在（0，+∞）上的单调性，可得结论．
（Ⅲ）h（x）=，转化为找h（x）在x∈[-1，1]上的最大值，让找出的最大值小于等于m²-2m-3即可．
点评：本题是函数和向量的一道综合题，在解题过程中用到从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系，即系数和为1这一结论．而后两问都用到了利用导函数求原函数的单调性，这是一道中档难度的题．