Question

【题目】已知f（x）是R上的奇函数，且x>0时，f（x）=x2-4x+3．

求：（1）f（x）的解析式．

（2）已知t＞0，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）= （2）

【解析】

（1）当x＜0时，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）

（2）由题意可得函数f（x）[t，t+1]上f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1开口向上且关于x=2对称

①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=f（t+1）

②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内，g（t）=f（2）

③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=f（t）

（1）∵f（x）是奇函数

∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立, f（0）=0

又x>0时，f（x）=x2-4x+3．

∴x＜0时，-x＞0

∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4（-x）+3]=-x2-4x-3

∴f（x）=

（2）∵t＞0

∴当x∈[t，t+1]时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1开口向上且关于x=2对称

①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减

∴g（t）=f（t+1）=（t-1）2-1=t2-2t

②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内

∴g（t）=f（2）=-1

③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增

∴g（t）=f（t）=t2-4t+3

综上所述，