Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosφ，sinφ）
（1）若|θ-φ|=$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）若θ+φ=$\frac{π}{3}$，记f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，
（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos²（θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）-1，令t=cos（θ-$\frac{π}{6}$），根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（cosφ，sinφ），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosθ-cosφ）+（sinθ-sinφ），
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=（cosθ-cosφ）²+（sinθ-sinφ）²=2-2cos（θ-φ）=2-2cos$\frac{π}{3}$=2-1=1，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ-φ）=cos（2θ-$\frac{π}{3}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+2cos（θ-φ）}$=2|cos（θ-$\frac{π}{6}$）|=2cos（θ-$\frac{π}{6}$），
∴f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos（2θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2cos²（θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）-1
令t=cos（θ-$\frac{π}{6}$），则t∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（t）=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{λ}{2}$）²-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1，
又1≤λ≤2，$\frac{1}{2}$≤$\frac{λ}{2}$≤1
∴t=$\frac{λ}{2}$时，f（t）有最小值-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1，
∴f（θ）的最小值为-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．