Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，求d的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数解析式f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有极值，方程f′（x）=x²-x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，
∴f′（x）=x²-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x²-x+c=0有两个实数解，
从而△=1-4c＞0，
∴c＜

1

4

．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0时，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．