Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+a{x}^{2}+bx\\;x∈[-1，2）}\\{\frac{1}{x}+tlnx\\;x∈[2，4]}\end{array}\right.$且函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[-1，2）上的单调递增区间；
（3）是否存在一个实数m＜2，使得函数f（x）在区间[m，4]上单调递增，求满足该条件的m的最小值和此时实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$处取得极值得到方程组，解出a，b的值即可；
（2）先求出函数的导数，令导函数大于等于0，解不等式即可；
（3）结合（2）得到函数f（x）在[1，4]递增，求出m的最小值，进而求出t的范围．

解答 解：（1）x∈[-1，2）时：f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$处取得极值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f′（-\frac{2}{3}）=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）由（1）得：在区间[-1，2）上：
f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）≥0，解得：x≥1或x≤-$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$]，[1，2）递增；
（3）若存在一个实数m＜2，使得函数f（x）在区间[m，4]上单调递增，
则由（2）得：m≥1，∴m的最小值是1，
且8-2-4≤$\frac{1}{2}$+tln2，解得：t≥$\frac{3}{2ln2}$，
而在区间[2，4]上，f（x）=$\frac{1}{x}$+tlnx，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{t}{x}$=$\frac{tx-1}{{x}^{2}}$，
由tx-1≥0在[2，4]恒成立，得：t≥${（\frac{1}{x}）}_{max}$=$\frac{1}{2}$，
综上：t≥$\frac{3}{2ln2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．