Question

9．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{ax}{x+1}$，其中a为实常数．
（1）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个不同的极值x₁，x₂，当x＞0时，证明：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{x+1}$≥$\frac{f（x）-2x+2}{x}$．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的范围；
（2）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x₁x₂=1，化简整理f（x₁）+f（x₂），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x-lnx-1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．

解答 解：（1）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$≥0恒成立，
∴a≥-$\frac{{2（x+1）}^{2}}{x}$=-2（x+$\frac{1}{x}$+2），
∵x+$\frac{1}{x}$+2≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2=4，当且仅当x=1时取等号，
∴a≥-8，
故a的取范围为[-8，+∞）；
（2）由（1）知f′（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）=0，
得到2x²+（a+4）x+2=0，
由题意得x₁，x₂是方程的两根，则x₁x₂=1，
∴f（x₁）+f（x₂）
=2lnx₁+$\frac{{ax}_{1}}{{x}_{1}+1}$+2lnx₂+$\frac{{ax}_{2}}{{x}_{2}+1}$
=2lnx₁x₂+$\frac{{ax}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{ax}_{2}}{{x}_{2}+1}$
=a•$\frac{2{+x}_{1}{+x}_{2}}{2{+x}_{1}{+x}_{2}}$=a，
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{x+1}$-$\frac{f（x）-2x+2}{x}$
=$\frac{a}{x+1}$-$\frac{2lnx+\frac{ax}{x+1}-2x+2}{x}$
=$\frac{2（x-1）-2lnx}{x}$，
设g（x）=2（x-lnx-1），
则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，
当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，x-lnx-1＞0，
故$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{x+1}$≥$\frac{f（x）-2x+2}{x}$，当且仅当x=1时取等号．

点评 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．