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在矩形中,以所在直线为轴,以中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.已知点的坐标为,E、F为的两个三等分点,交于点的外接圆为⊙

(1)求证:
(2)求⊙的方程;
(3)设点,过点P作直线与⊙交于M,N两点,若点M恰好是线段PN的中点,求实数的取值范围.

(1),根据
(2) .
(3)

解析试题分析:(1)由题意可知
所以直线和直线的方程分别为:
 解得 所以点的坐标为.     6分
所以
因为,所以,                8分
(2)由(1)知⊙的圆心为中点,半径为
所以⊙方程为 .               10分
(3) 设点的坐标为,则点的坐标为
因为点均在⊙上,所以
由②-①×4,得
所以点在直线,      12分
又因为点在⊙上,
所以圆心到直线的距离
 ,            14分

整理,得,即
所以,故的取值范围为.   16分

解法二:过
到直线的距离,则


又因为
所以,因为
所以,所以
解法三:因为,所以
所以,所以
考点:直线方程,直线垂直的条件,圆的方程,直线与圆的位置关系。
点评:中档题,直线方程的考查中,点斜式是一重点考查内容。两直线垂直的条件是,斜率乘积为-1,或一条直线斜率为0,另一直线的斜率不存在。直线与圆的位置关系问题,往往利用“几何法”更为直观、简单。

练习册系列答案
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已知平面内两点
(1)求的中垂线方程;
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(1)与直线2x+3y+5=0平行;   (2)与直线2x+3y+5=0垂直.

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①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;  
②求垂直于直线x+3y-5="0," 且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.

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解答下列问题:
(1)求平行于直线3x+4y 2=0,且与它的距离是1的直线方程;
(2)求垂直于直线x+3y 5=0且与点P( 1,0)的距离是的直线方程.

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(本题满分12分)
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(Ⅰ)求直线的方程;
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(本小题满分10分)过点的直线轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点为坐标原点,的面积等于6,求直线的方程.

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