Question

1．已知幂函数f（x）=（-2m²+m+2）x^-2m+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-2（a-1）x+1在区间（2，3）上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为幂函数知-2m²+m+2=1，结合幂函数f（x）为偶函数，进行取舍，可得f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-2（a-1）x+1在区间（2，3）上有最小值，则2＜a-1＜3，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）为幂函数知-2m²+m+2=1，
得m=1或$m=-\frac{1}{2}$
当m=1时，f（x）=x²，符合题意：
当$m=-\frac{1}{2}$时，$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$，不合题意，舍去．
∴f（x）=x²
（2）由（1）得y=x²-2（a-1）x=1，
即函数的对称轴为x=a-1，
由题意知y=x²-2（a-1）x+1在（2，3）上有最小值，
所以2＜a-1＜3
即3＜a＜4．

点评 本题考查的知识点是幂函数的解析式，幂函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，难度中档．