Question

20．已知函数f（x）=ln x，F（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a，
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程．
（2）若F（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f′（1）=1，求出切线方程即可；
（2）求出函数F（x）的导数，问题转化为a≥-x²+ln x-1恒成立，令G（x）=-x²+ln x-1，求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为f′（x）=$\frac{1}{x}$，所以f′（1）=1，
故切线方程为y=x-1．__________（4分）
（2）y=F（x）在[1，+∞）上单调递增，
F′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+a+1}{{x}^{2}}$，
则当x≥1时，x²-ln x+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥-x²+ln x-1恒成立．
令G（x）=-x²+ln x-1，
则当x≥1时，G′（x）=$\frac{1-{2x}^{2}}{x}$＜0，
故G（x）=-x²+ln x-1在[1，+∞）上单调递减，
从而G（x）_max=G（1）=-2，
故a≥G（x）_max=-2，
即a的取值范围为a≥-2．_______（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．