Question

12．已知{a_n}是递增等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根，
（Ⅰ）  求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由x²-5x+6=0，解得x=2，3．由{a_n}是递增等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根，可得a₂=2，a₄=3．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由x²-5x+6=0，解得x=2，3．
∵{a_n}是递增等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根，∴a₂=2，a₄=3．
∴公差d=$\frac{1}{2}×（3-2）$=$\frac{1}{2}$，首项a₁=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴a_n=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+2}{2}$．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$+$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
解得T_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．