Question

2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为   ρsin²θ=2cosθ，过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）求证：|PA|•|PB|=|AB|²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t参数可得直线l的普通方程；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C和直线l联立方程组求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式可得结论．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，
x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得：y²=2x
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2x．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，可得x-y=-2+4，即x-y-2=0．
∴直线l的普通方程为x-y-2=0．
（Ⅱ）证明：直线l与曲线C相交于A，B两点
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得坐标A（$\sqrt{5}+3$，$\sqrt{5}+1$），坐标B（3$-\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）
∵P（-2，-4），
那么：|PA|•|PB|=$\sqrt{2（\sqrt{5}+5）^{2}}•\sqrt{2（5-\sqrt{5}）^{2}}=2×20=40$
|AB|²=$（\sqrt{5}+3-3+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}+1-1+\sqrt{5}）^{2}$=40．
∴|PA|•|PB|=|AB|²．

点评 本题主要考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转换．两点之间的距离公式．属于基础题．