Question

10．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x\;，\;y≥0\\ x-y≥-1\\ x+y≤3\end{array}\right.$，则z=x-2y的取值范围为[-3，3]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A（3，0）时，
直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大为z=3-0=3，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
过点B时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×2=1-4=-3，
故-3≤z≤3，
故答案为：[-3，3]．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．