Question

已知函数f(x)＝a－.

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时， f(x)＝a－，

设0<x₁<x₂，则x₁x₂>0，x₂－x₁>0.

f(x₁)－f(x₂)＝

＝<0.

∴f(x₁)<f(x₂)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．

可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故a≤h(1)，即a≤3，

∴a的取值范围为(－∞，3]．