Question

设函数f (x)＝x³－4x＋a，0＜a＜2．若f (x)的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则

A．x1＞－1

B．x2＜0

C．x2＞0

D．x3＞2

Answer 1

C

试题分析：∵函数f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x²-4．令f′（x）=0，得 x=±．∵当x＜-时，f′（x）＞0；在（-，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（-∞，-）上是增函数，在（-，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（-）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，得 x₁＜-，-＜x₂＜，x₃＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a-＜0，得＞x₂＞0．∴0＜x₂＜1．故选C．
点评：本题函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．