Question

已知函数f（x）=

1

2x

-2^x，
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）解关于x的不等式f[lg（x²-2）]+f[lg（

1

x

）]＞0．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=2，可得

1

2x

-2^x=2，即（2^x）²+2×2^x-1=0，由此可求x的值；
（2）判断f（x）是R上的奇函数、减函数，再将不等式转化为具体不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=2，∴

1

2x

-2^x=2，整理得（2^x）²+2×2^x-1=0
解得2x=

2

-1
∴x=log2(

2

-1)…（4分）
（2）∵f（-x）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函数
∵f[lg（x²-2）]+f[lg（

1

x

）]＞0
∴f[lg（x²-2）]＞f（lgx）
∵f′（x）=-

ln2

2x

-2^xln2＜0
∴f（x）在R上为减函数，∴lg（x²-2）＜lgx…（8分）
∴0＜x²-2＜x
∴

2

＜x＜2…（10分）

点评：本题考查指数方程，考查函数的单调性与奇偶性，考查不等式的解法，解题的关键是确定函数的性质，属于中档题．