Question

（2012•绍兴一模）若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，1]

B．[0，1）

C．（-∞，1）

D．（-∞，1]

Answer 1

分析：运用集合中的补集思想来做此题．假设，函数关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0二根同时为负，则有x₁+x₂＜0，x₁x₂=

1

m

＞0，取不等式的交集得出m的范围，再取其补集，最后再加上根的判别式△≥0这个条件，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：若m=0，则关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0，即-3x+1=0，在（0，+∞）上有解x=

1

3

，符合题意．
若m≠0时，关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，就是说不能二根同为负．
如果二根同时为负，设方程的两根为x₁，x₂，则有：
x₁+x₂=

3-m

m

＜0，且x₁x₂=

1

m

＞0，
解得：m＞3，
所以至少有一正根时有：m≤3，
又判别式：（m-3）²-4m≥0，
即m²-10m+9≥0
即（m-9）（m-1）≥0
∴m≥9或者m≤1．
综上所述，若关于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，则实数m的取值范围是m≤1．
故选D．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．