Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°且PA=AB，则直线AB与平面PBC所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连结AC，BD，交于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过点O平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：连结AC，BD，交于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，
过点O平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意知：P（

3

，0，2），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），A（

3

，0，0），
则

AB

=(-

3

，1，0)，

PB

=(-

3

，1，-2)，

PC

=(-2

3

，0，-2)，
设平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =- 3 x+y-2z=0 n • PC =-2 3 x-2z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，9，-3)，
设直线AB与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

-3+9+0

4 • 93

|=

93

31

．
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为

93

31

．
故答案为：

93

31

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．