Question

已知f（x）=

2x+1， x∈[-2，2) 1+x2， x∈(2，4]

求使

∫

3 k

f（x）dx=

40

3

恒成立的k值．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：由题意，要讨论k与2的大小关系，分别计算两种情况下的定积分，然后确定k 值．

解答： 解：当k＞2时，

∫

3 k

f（x）dx=

∫

3 k

(1+x2)dx=（x+

1

3

x3）|

3 k

=12-k-

1

3

k3=

40

3

，解得k=-1；
当k＜2时，

∫

3 k

f（x）dx=

∫

2 k

(2x+1)dx+

∫

3 2

(1+x2)dx=（x²+x）|

2 k

+（x+

1

3

x3）|

3 2

=6-k²-k+12-

14

3

=

40

3

，解得k=0或者k=-1；
所以要使

∫

3 k

f（x）dx=

40

3

恒成立的k值为-1．

点评：本题考查了定积分的计算，关键是由题意讨论k的范围得到不同的定积分．