Question

正项等比数列{a_n}中，a₃=9，a₅=81
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+lna_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用正项等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a_n=3^n-1．
（2）由b_n=a_n+lna_n=3^n-1+ln3^n-1=3^n-1+（n-1）ln3，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵正项等比数列{a_n}中，a₃=9，a₅=81，
∴

a1q2=9 a1q4=81 q＞0

，解得a₁=1，q=3，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=a_n+lna_n=3^n-1+ln3^n-1=3^n-1+（n-1）ln3，
∴S_n=1+3+3²+…+3^n-1+[1+2+3+…+（n-1）]ln3
=

1-3n

1-3

+

(n-1)[1+(n-1)]ln3

2

=

3n-1+n(n-1)ln3

2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用．