Question

等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（1）求a_n，S_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=

1

4Sn-1

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，从而得到公比q=4，进而得c₁=2，由此能求出a_n，S_n．
（2）由b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=10•4^n-1（n∈N^*），
∴c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，∴公比q=4，
∴c₁+4c₁=10，解得c₁=2，
∴cn=2•4n-1=2^2n-1，
∴an=log222n-1=2n-1．
Sn=

n(a1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n²．
（2）由（1）知b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．