Question

已知函数f（x）=x+

4

x

．
（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题

分析：（1）在给定区间内任取两数x₁，x₂，只需判断f（x₁）-f（x₂）与0的大小就行；
（2）由函数的单调性，即可求出最小值与最大值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴且x₁-x₂＜0，且x₁，x₂∈（2，+∞），∴x₁x₂-4＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
（2）任取x₁，x₂∈（1，2）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴且x₁-x₂＜0，且x₁，x₂∈（1，2），∴x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x）在（1，2）上的单调递减，由（1）知f（x）在（2，4）上单调递增，
又f（1）=5，f（2）=4，f（4）=5，∴当x=1或x=4时函数f（x）有最大值5，当x=2时函数f（x）有最小值4．

点评：本题考查了运用定义法证明函数的单调性，连续函数在闭区间上的最值，注意的是最值可能是函数的极值也可能是区间端点的值．属于基础题．