Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f^∥（x）是f′（x）的导函数，若方程f^∥（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心． 若f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，请你根据这一发现，求：
（1）函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的对称中心为

 

；
（2）f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．计算f(

1

2

)即可得出．
（2）由于函数f（x）的对称中心为(

1

2

，1)．可得f（1-x）+f（x）=2．即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-x+3，f^″（x）=2x-1，
令f^″（x）=0，解得x=

1

2

．
f(

1

2

)=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2+3×

1

2

-

5

12

=1．
∴函数f（x）的对称中心为(

1

2

，1)．
（2）由于函数f（x）的对称中心为(

1

2

，1)．
∴f（1-x）+f（x）=2．
∴f（

1

2016

）+f（

2

2016

）+…+f（

2015

2016

）
=

1

2

[f(

1

2016

)+f(

2015

2016

)+f(

2

2016

)+f(

2014

2016

)+…+f(

2015

2016

)+f(

1

2016

)]
=

1

2

(2×2015)
=2015．
故答案为：2015．

点评：本题考查了利用导数研究三次函数的中心对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．