Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．求：

（1）x0的值；
（2）a，b，c的值．
（3）若曲线y=f（x）（0≤x≤2）与y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图象可知，在（﹣∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．

在（2，+∞）上f'（x）＞0．

故f（x）在（﹣∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．

因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．

（2）解：f'（x）=3ax2+2bx+c，

由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，

得 ，

解得a=2，b=﹣9，c=12

（3）解：由（1）知，函数在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，

∵f（x）=2x3﹣9x2+12x，

∴f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，

∵y=f（x）（0≤x≤2）与y=m有两个不同的交点，

∴m∈[4，5）．

【解析】（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可；（3）由（1）知，函数在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，求出相应函数值，即可求实数m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．