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    正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.

    (1)求证:⊥平面；
    (2)求二面角余弦值.
    (1)详见解析；（2）.

    试题分析：(1)先根据题意找到BC中点O，证明，平面，从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面中相关向量坐标以及的坐标，由向量的数量积为0证明线线垂直，从而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上问可知平面的法向量即，再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值，经观察可知即为二面角余弦值.从而得到本题的解.
    试题解析：（1）取BC中点O,连AO,
    ∵为正三角形, ∴,
    ∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
    取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,

    则.
    ∴,
    ∵,.
    ∴,,∴面   
    (2)设平面的法向量为,.
    ,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,
    ∴为平面的法向量,,
    经检验易知二面角的余弦值为.
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

    (1)求证：A1B∥平面ADC1；
    (2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，,底面, ,为的中点，为的中点.

    （Ⅰ）证明：直线平面；
    （Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE＝1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．

    （Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC;
    （Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直棱柱

    （I）证明：；
    （II）求直线所成角的正弦值。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知向量
    v1
    ，
    v2
    ，
    v3
    分别是空间三条不同直线l1，l2，l3的方向向量，则下列命题中正确的是（　　）
    A．l1⊥l2，l2⊥
    l3
    ⇒
    v1
    =λ
    v3
    (λ∈R)
    B．l1⊥l2，l2∥
    l3
    ⇒
    v1
    =λ
    v3
    (λ∈R)
    C．l1，l2，l3平行于同一个平面⇒?λ，μ∈R，使得
    v1
    =λ
    v2
    +μ
    v3
    D．l1，l2，l3共点⇒?λ，μ∈R，使得
    v1
    =λ
    v2
    +μ
    v3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    在平面直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时则的大小为　　　　　．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

    （Ⅰ）求证：平面PBD；
    （Ⅱ）若时，求二面角的余弦值。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题满分12分）
    如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

    ⑴求证：；
    ⑵求直线与平面所成的角；
    ⑶设点在棱上，，若∥平面，求的值.

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