Question

（10分）C如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD 折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=，

（Ⅰ）若，求证：AB∥平面CDE；

（Ⅱ）求实数的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面平行关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量平行；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系，则

A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（1,1,）,D（0,2,0）,E（0,0,）,

设平面的一个法向量为，

则有，

取时，

，又不在平面内，所以平面；

（Ⅱ）E（0,0,）, ，

设平面的一个法向量为，

则有，取时，

又平面的一个法向量为，

因为二面角的大小为，，

即，解得

又，所以．

考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.