Question

9．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥|x-10|-|x+6|$恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质先求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值，问题转化为解不等式9≥|x-10|-|x+6|，从而求出x的范围．

解答 解：∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（ $\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥9，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9，
因为对?a，b∈（0，+∞），
使$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥|x-10|-|x+6|$恒成立，
所以，9≥|x-10|-|x+6|，
当 x≤-6时，16≤9，无解；
当-6＜x＜10时，4-2x≤9，
∴-2.5≤x＜10；
当 x≥10时，-16≤9，
∴x≥10；
∴{x|x≥-2.5}．

点评 本题考查了基本不等式性质的应用，考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，是一道中档题．