【题目】已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的最小正周期为π,且f(
)=
.
(1)求ω和φ的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在[0, ]上的值域.
【答案】
(1)解:f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的周期T=
=π,∴ω=2,
∵f =cos
=cos
=﹣sinφ=
,﹣
<φ<0,∴φ=﹣
(2)解:由(1)可得f(x)=cos(2x﹣ ),令2kπ﹣π≤2x﹣
≤2kπ,
求得kπ﹣ ≤x≤kπ+
,可得函数的增区间为[kπ﹣
,kπ+
],k∈Z
(3)解:在[0, ]上,2x﹣
∈[﹣
,
],cos(2x﹣
)∈[﹣
,1],
即函数的值域为[﹣ ,1]
【解析】(1)由周期求出ω,由特殊点求出φ的值,可得函数的解析式.(2)利用正弦函数的单调性,求得f(x)的增区间.(3)由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得f(x)在[0, ]上的值域.
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【题目】已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ,sin25°+sin265°+sin2125°=
.通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.
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【题目】已知F为椭圆C: +
=1的右焦点,椭圆C上任意一点P到点F的距离与点P到直线l:x=m的距离之比为
,求:
(1)直线l方程;
(2)设A为椭圆C的左顶点,过点F的直线交椭圆C于D、E两点,直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点.以MN为直径的是圆是否恒过一定点,若是,求出定点坐标,若不是请说明理由.
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【题目】已知椭圆右顶点与右焦点的距离为
,短轴长为
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。
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【题目】已知函数 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e﹣2 .
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