Question

【题目】已知函数 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）= ，x∈（0，+∞）， 且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，
又ex＞0，
∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），
∴g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣21﹣x﹣xlnx＜ （1+e﹣2），
由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
x∈（e﹣2 ， +∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，
∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2 ，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ，
设m（x）=ex﹣（x+1），
∴m′（x）=ex﹣1=ex﹣e0 ，
∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，
即 ＞1，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣2
【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）= ，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅲ）因g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ， 设m（x）=ex﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），问题得以证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．