【题目】已知函数f(x)=ax3﹣6x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0 , 且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4)
B.(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣4 )
D.(4 ,+∞)
【答案】C
【解析】解:当a=0时,f(x)=﹣12x2+1=0,解得x=± ,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去; 当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣12x=3ax(x﹣ )=0,解得x=0或x= >0,列表如下:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0, ) | ( ,+∞) | |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,
不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0 , 且x0>0,应舍去.
当a<0时,f′(x)=3ax2﹣12x=3ax(x﹣ )=0,解得x=0或x= <0,列表如下:
x | (﹣∞, ) | ( ,0) | 0 | (0,+∞) | |
f′(x) | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,
化为a2>32,
∵a<0,∴a<﹣4 .
综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣4 ).
故选:C.
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【题目】如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
7 | 9 | ||||
8 | 4 | 4 | 6 | 4 | 7 |
9 | 3 |
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,1.6
D.85,4
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【题目】已知椭圆右顶点与右焦点的距离为,短轴长为
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。
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【题目】设m∈R,复数z=(m2﹣3m﹣4)+(m2+3m﹣28)i,其中i为虚数单位.
(1)当m为何值时,复数z是虚数?
(2)当m为何值时,复数z是纯虚数?
(3)当m为何值时,复数z所对应的点在复平面内位于第四象限?
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【题目】已知函数 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e﹣2 .
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【题目】如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为C,与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点,且PG=50m.在观测点正前方10m处(即PD=10m)有一个高为10m(即ED=10m)的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m,以PG所在直线为x轴,G为坐标原点,建立直角坐标系,求圆C和直线PF的方程;
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为 ,求该圆形标志物的半径.
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【题目】已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( )
A.以上四个图形都是正确的
B.只有(2)(4)是正确的
C.只有(4)是错误的
D.只有(1)(2)是正确的
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