Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2
（1）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求平面A₁BC₁与平面ACD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）根据面面平行的判定定理，要证平面A₁BC₁∥平面ACD₁，只需证明AC∥面A₁BC₁，CD₁∥面A₁BC₁；
（2）建立空间坐标系，设

n

为面ACD₁的一个法向量，则所求距离d=|

A1A

|×|cos＜

n

，

A1A

＞|，根据条件计算所求值即可；

解答：（1）证明：作图如下所示：
∵四边形ACC₁A₁为平行四边形，∴AC∥A₁C₁，
AC?面A₁BC₁，A₁C₁?A₁BC₁，
∴AC∥同理可证CD₁∥面A₁BC₁，
又AC∩CD₁=C，AC?面ACD₁，CD₁?面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：分别以

B1A1

，

B1C1

，

B1B

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A₁（4，0，0），A（4，0，2），D₁（4，3，0），C（0，3，2），

A1A

=（0，0，2），

AC

=（-4，3，0），

AD1

=（0，3，-2），
设

n

=（x，y，z）为面ACD₁的一个法向量，
则

n • AC =0 n • AD1 =0

，即

-4x+3y=0 3y-z=0

，取

n

=（3，4，6），
所以所求距离d=|

A1A

|×|cos＜

n

，

A1A

＞|=

| n • A1A |

| n |

=

12

32+42+62

=

12

61

61

，
故平面A₁BC₁与平面ACD₁的距离为

12

61

61

．

点评：本题考查面面平行的判定及两平行面间的距离求解，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力，属中档题．