Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（　　）

• A、

  3 -1

  2

• B、

  1+ 5

  4

• C、

  5 -1

  2

• D、

  3 +1

  4

Answer 1

分析：先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．

解答：解：依题意可知点F（-c，0）
直线AB斜率为

b-0

0-a

=-

b

a

，直线BF的斜率为

0-b

c-0

=-

b

c

∵∠FBA=90°，
∴（ -

b

a

）•（ -

b

c

）=

b2

ac

=

a2-c2

ac

=-1
整理得c²-ac-a²=0，即

c

a

²⁺

c

a

-1=0，即e²-e-1=0
解得e=

5 -1

2

或

5 +1

2

∵e＜1
∴e=

5 -1

2

，
故选C．

点评：本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1．属基础题．