Question

2．已知函数f（x）=e^x-ax，g（x）=x+a．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x₁∈[0，1]，存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将f（x）在x=1处取得极值转化为f'（1）=0，进而计算可得结论；
（Ⅱ）由题可知问题转化为函数值域的包含关系，进而分a≤0、a＞0两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax可知f'（x）=e^x-a，
依题意知f'（1）=0，得e-a=0，即a=e，
验证可知a=e满足题意，
综上所述，a=e．
（Ⅱ）由x₂∈[0，1]可知g（x₂）∈[a，a+1]，f'（x）=e^x-a．
（1）当a≤0时，f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（x₁）∈[1，e-a]，
依题得$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a+1≥e-a\end{array}\right.$，解得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又a≤0，所以此时a无实数解．
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=lna．
①当lna≤0时，f（x）在[0，1]上单调递增，
所以由（1）得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又因为0＜a≤1，
所以$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，即$a∈[{\frac{e-1}{2}，1}]$．
②当lna≥1即a≥e时，f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（x₁）∈[e-a，1]，
依题得$\left\{\begin{array}{l}a≤e-a\\ a+1≥1\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{e}{2}$，
又a≥e，所以a无实数解．
③当0＜lna＜1即1＜a＜e时，
因为f（x）在[0，lna]上单调递减，在[lna，1]上单调递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（lna）={e^{lna}}-alna=a（1-lna）$，
又因为1＜a＜e，
所以a（1-lna）＜a，显然不符合题意．
综上，实数a的取值范围为$[{\frac{e-1}{2}，1}]$．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．