Question

已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点对称，以为焦点的椭圆，过点

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，过点作直线与椭圆交于两点，且，若，求的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意抛物线的焦点为，所以椭圆中，再将点代入椭圆方程利用，求得的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定不为，设直线的方程为：联立（Ⅰ）得到的椭圆方程，根据韦达定理得到：的值，利用求得的取值范围，进而得到的最小值.

试题解析：（Ⅰ）易知，椭圆方程为 （5分）

（Ⅱ）由题意可设，由 （6分）

设

将得 （8分）

由得， （9分）

，

（11分）

令

的最小值是. （13分）

考点：1.椭圆的方程；2.韦达定理；3.二次函数.